Questions mathématiques

Dominos

Pavage d'un rectangle

On considère un rectangle \(n×m\) à paver

avec des dominos, dans un ordre quelconque

On peut, d'après un exercice précédent, construire un tel pavage dès que \(n\) ou \(m\) est pair.

Démontrer que dans le cas contraire, il est impossible de réaliser le pavage demandé.

Le cas contraire est : \(n\) et \(m\) sont impairs.

Réponse

Si \(n\) et \(m\) sont impairs, alors il y a \(n×m\) cases à paver qui est un nombre impair. Il est donc impossible de paver dans ce cas avec des dominos !

Pavage d'un rectangle sans deux coins opposés

On considère un rectangle \(n×m\) à paver

avec des dominos, dans un ordre quelconque
deux coins opposés du rectangle sont interdits, hors jeu pour cet exercice

On peut, d'après un exercice précédent, construire un tel pavage dès que \(n\) et \(m\) n'ont pas la même parité.

Démontrer que dans le cas contraire, il est impossible de réaliser le pavage demandé.

Le cas contraire est : \(n\) et \(m\) ont la même parité.

Réponse

Cas 1 : \(n\) et \(m\) sont impairs. Il y a un nombre impair de cases, même avec les deux coins en moins. Il est impossible de paver avec des dominos dans ce cas.

Cas 2 : \(n\) et \(m\) sont pairs. Certes, le nombre de cases à paver est pair. Mais en coloriant comme un damier, avec des cases blanches et noires, on est dans un cas où les deux coins opposés sont de la même couleur ; il y a alors un déséquilibre à paver, alors qu'un domino se place toujours sur une case noire et blanche, ce qui ne rompt pas l'équilibre. Ce cas est donc impossible également.

Monominos

Pavage de rectangle en lacet 💥💥💥

On considère un rectangle \(n×m\) à paver

avec des monominos
départ dans une case quelconque
les monominos consécutifs doivent être adjacents
le dernier doit être adjacent à celui de départ

On peut, d'après un exercice précédent, construire un tel pavage :

si \(n = m = 1\) (c'est facile).
sinon si \(n\) ou \(m\) est pair, et l'autre différent de \(1\)

Démontrer que dans le cas contraire, il est impossible de réaliser le pavage demandé.

Le cas contraire est :

ou bien : \(n\) ou \(m\) vaut \(1\), et l'autre est strictement plus grand que 2.
ou bien : \(n\) et \(m\) sont impairs, strictement plus grands que \(1\)

Réponse

Cas 1 : \(n = 1\) et \(m>1\). Une fois parti d'un côté, on ne peut pas revenir en arrière ! Impossible.

Cas 2 : \(n>1\), \(m>1\), et \(n, m\) impairs. On raisonne par l'absurde :

On suppose un tel pavage possible. On colorie le rectangle, classiquement, comme un damier avec des cases blanches et des noires.
On pose un domino sur chaque liaison de cases adjacentes avec le parcours proposé.
On peut également poser un dernier domino pour boucler le parcours avec le point de départ.
Ces dominos forment un pavage à deux étages. Certains sont dessous, d'autres dessus.
Chaque domino a été posé sur une case noire et une case blanche, il doit donc y en avoir autant.

C'est absurde, il y a un déséquilibre entre cases noires et blanches !

Trominos droits

Pavage de carré 8×8 💥💥💥💥

On rappelle qu'un tromino droit est constitué de 3 monominos alignés et collés (un rectangle 3×1 ou 1×3 donc).

On considère un carré de côté 8 à paver

avec une case à enlever au choix
avec des trominos droits

Question : Quelles sont les choix possibles pour la case à enlever ?

Prouver que c'est impossible pour certaines cases.
Donner un pavage pour les autres cases, quand c'est possible donc.

Dénombrement

💥 Pavage d'un rectangle 2×n avec des dominos

Comment calculer le nombre de façons de paver un rectangle \(2×n\) avec des dominos ?

Donner les premières valeurs.

💥💥 Pavage d'un rectangle 3×n avec des dominos

Comment calculer le nombre de façons de paver un rectangle \(3×n\) avec des dominos ?

Donner les premières valeurs.

💥 Pavage d'un rectangle 3×n avec des trominos droits

Comment calculer le nombre de façons de paver un rectangle \(3×n\) avec des trominos droits ?

Donner les premières valeurs.

💥💥 Pavage d'un rectangle 3×n avec des trominos en L

Comment calculer le nombre de façons de paver un rectangle \(3×n\) avec des trominos en L ?

Donner les premières valeurs.

💥💥💥 Pavage d'un rectangle 3×n avec des trominos droits et des carrés 2×2

Comment calculer le nombre de façons de paver un rectangle \(3×n\) avec des trominos droits et des carrés 2×2?

Donner les premières valeurs.