Les nombres de Fermat
Le cadre
Les nombres de la forme \(2^{2^n}+1\) où \(n \in \mathbb{N}\), sont-ils tous premiers ? 1
Les premiers nombres peuvent l'indiquer.
- \(F_0 = 3\), est un nombre premier.
- \(F_1 = 5\), est un nombre premier.
- \(F_2 = 17\), est un nombre premier.
- \(F_3 = 257\), est un nombre premier.
Les suivants deviennent rapidement des nombres très grands, hors de portée d'un calcul sans machine.
Exercice
Compléter le script ci-dessous qui vérifie ou infirme cette conjecture.
La fonction est_premier issue d'un exercice précédent est ici directement disponible.
Tronquer ou non le feedback dans les terminaux (sortie standard & stacktrace / relancer le code pour appliquer)
Si activé, le texte copié dans le terminal est joint sur une seule ligne avant d'être copié dans le presse-papier
Réponse
🐍 Script Python
n = 0
while True:
F_n = 2 ** (2**n) + 1
if est_premier(F_n):
print(f"F_{n} = {F_n}, est un nombre premier")
else:
print(f"F_{n} = {F_n}, est un nombre composé")
print("Conjecture fausse")
break
n += 1
📤 Sortie
F_0 = 3, est un nombre premier
F_1 = 5, est un nombre premier
F_2 = 17, est un nombre premier
F_3 = 257, est un nombre premier
F_4 = 65537, est un nombre premier
F_5 = 4294967297, est un nombre composé
Conjecture fausse
Et la suite
À la date d'écriture de ce document,
- aucun nouveau nombre de Fermat premier n'a été découvert,
- pour \(5 \leqslant n \leqslant 32\), tous les \(F_n\) sont composés.
- \(F_{33}\) a un statut inconnu, comme beaucoup d'autres ensuite.
- On sait que certains \(F_n\) pour \(n > 33\) sont composés.
Lien avec la géométrie
Le théorème de Gauss-Wantzel établit un lien entre les polygones constructibles à la règle et au compas, et les nombres de Fermat premiers.
-
Les nombres de Fermat doivent leur nom à Pierre de Fermat, qui émit la conjecture que tous ces nombres étaient premiers. ↩
# Tests(insensible à la casse)(Ctrl+I)
(Alt+: ; Ctrl pour inverser les colonnes)
(Esc)